Главная       Продать работу       Блог       Контакты       Оплата       О нас       Как мы работаем       Регистрация       Вход в кабинет
Тех. дипломные работы
   автомобили
   спец. техника
   станки
   тех. маш.
   строительство
   электроснабжение
   пищевая промышленность
   водоснабжение
   газоснабжение
   автоматизация
   теплоснабжение
   холодильники
   машиностроение
   др. тех. специальности

Тех. курсовые работы
   автомобили
   спец. техника
   станки
   тех. маш.
   строительство
   детали машин
   электроснабжение
   газоснабжение
   водоснабжение
   пищевая промышленность
   автоматизация
   теплоснабжение
   ТММ
   ВСТИ
   гидравлика и пневматика
   машиностроение
   др. тех. специальности

Тех. дополнения
   Отчеты
   Расчетно-графические работы
   Лекции
   Задачи
   Лабораторные работы
   Литература
   Контрольные работы
   Чертежи и 3D моделирование
   Тех. soft
   Рефераты
   Общий раздел
   Технологический раздел
   Конструкторский раздел
   Эксплуатационный раздел
   БЖД раздел
   Экономический раздел
   Экологический раздел
   Автоматизация раздел
   Расчетные работы

Гум. дипломные работы
   педагогика и психология
   астрономия и космонавтика
   банковское, биржевое дело
   БЖД и экология
   биология и естествознание
   бухгалтерский счет и аудит
   военное дело
   география
   геология
   государство и право
   журналистика и СМИ
   иностранные языки
   история
   коммуникации
   краеведение
   кулинария
   культура и искусство
   литература
   экономика и торговля
   математика
   медицина
   международное отношение
   менеджмент
   политология
   музыка
   религия
   социология
   спорт и туризм
   таможенная система
   физика
   химия
   философия
   финансы
   этика и эстетика
   правознавство

Гум. курсовые работы
   педагогика и психология
   астрономия и космонавтика
   банковское, биржевое дело
   БЖД и экология
   биология и естествознание
   бухгалтерский счет и аудит
   военное дело
   география
   геология
   государство и право
   журналистика и СМИ
   иностранные языки
   история
   коммуникации
   краеведение
   кулинария
   культура и искусство
   литература
   экономика и торговля
   математика
   медицина
   международное отношение
   менеджмент
   политология
   музыка
   религия
   социология
   спорт и туризм
   таможенная система
   физика
   химия
   философия
   финансы
   этика и эстетика
   правознавство

Гум. дополнения
   Отчеты
   Расчетные работы
   Лекции
   Задачи
   Лабораторные работы
   Литература
   Контрольные работы
   Сочинения
   Гум. soft
   Рефераты

Рефераты
   Авиация и космонавтика
   Административное право
   Арбитражный процесс
   Архитектура
   Астрология
   Астрономия
   Банковское дело
   Безопасность жизнедеятельнос
   Биографии
   Биология
   Биология и химия
   Биржевое дело
   Ботаника и сельское хоз-во
   Бухгалтерский учет и аудит
   Валютные отношения
   Ветеринария
   Военная кафедра
   ГДЗ
   География
   Геодезия
   Геология
   Геополитика
   Государство и право
   Гражданское право и процесс
   Делопроизводство
   Деньги и кредит
   ЕГЭ
   Естествознание
   Журналистика
   ЗНО
   Зоология
   Издательское дело и полиграф
   Инвестиции
   Иностранный язык
   Информатика
   Информатика, программировани
   Исторические личности
   История
   История техники
   Кибернетика
   Коммуникации и связь
   Компьютерные науки
   Косметология
   Краеведение и этнография
   Краткое содержание произведе
   Криминалистика
   Криминология
   Криптология
   Кулинария
   Культура и искусство
   Культурология
   Литература : зарубежная
   Литература и русский язык
   Логика
   Логистика
   Маркетинг
   Математика
   Медицина, здоровье
   Медицинские науки
   Международное публичное прав
   Международное частное право
   Международные отношения
   Менеджмент
   Металлургия
   Москвоведение
   Музыка
   Муниципальное право
   Налоги, налогообложение
   Наука и техника
   Начертательная геометрия
   Оккультизм и уфология
   Остальные рефераты
   Педагогика
   Политология
   Право
   Право, юриспруденция
   Предпринимательство
   Прикладные науки
   Промышленность, производство
   Психология
   психология, педагогика
   Радиоэлектроника
   Реклама
   Религия и мифология
   Риторика
   Сексология
   Социология
   Статистика
   Страхование
   Строительные науки
   Строительство
   Схемотехника
   Таможенная система
   Теория государства и права
   Теория организации
   Теплотехника
   Технология
   Товароведение
   Транспорт
   Трудовое право
   Туризм
   Уголовное право и процесс
   Управление
   Управленческие науки
   Физика
   Физкультура и спорт
   Философия
   Финансовые науки
   Финансы
   Фотография
   Химия
   Хозяйственное право
   Цифровые устройства
   Экологическое право
   Экология
   Экономика
   Экономико-математическое мод
   Экономическая география
   Экономическая теория
   Этика
   Юриспруденция
   Языковедение
   Языкознание, филология

Главная > Рефераты > Астрономия
Название:
Знакозмінні та знакопостійні ряди Абсолютна та умовна збіжність

Тип: Рефераты
Категория: Рефераты
Подкатегория: Астрономия

Цена:
0 грн



Подробное описание:

Знакозмінні та знакопостійні ряди.

Абсолютна та умовна збіжність.

План.

1. Означення закономірного ряду.

2. Теорема Коші.

3. Абсолютна та умовна збіжність.

Л-ра: Методичні вказівки до вивчення теми “Ряди”. Укладачі: В.О.Борисенко, В.В.Левчук, В.С.Мартиненко, В.Д.Подільчук. КДТЕУ. К, 1992 р. ст. 16-19.

Теорема . Якщо в ряді з додатними членами загальний член, починаючи з певного значення п , задовольняє нерівність де q – стале число, менше за одиницю, то ряд збігається.

Коли ж навпаки, починаючи з певного значення п , маємо то ряд розбігається.

Доведення . У першому випадку маємо, починаючи з певного значення п ,

Отже, збіжність ряду й тут безпосередньо встановлюється порівнянням із спадною геометричною прогресією, знаменник якої q . Варто зауважити, що нерівність

характеризує при цьому “швидкість” збіжностей даного ряду порівняно з геометричною прогресією.

В другому випадку матимемо з певного моменту , отже, ряд напевне, розбігається, бо навіть основна необхідна умова збіжності не виконується.

Наслідок . Якщо існує , то при r < 1 ряд напевне збігається. Випадок r = 1 і тут взагалі є сумнівний.

Доведення .

Взявши u тут якесь число q , проміжне між r та 1 ( ), ми з певного моменту матимемо – в першому випадку:

Отже, ряж збігається; а в другому: отже, ряд розбігається.

Часто питання про збіжність ряду, що має члени як додатні, так і від’ємні, можна звести до питання про збіжність знакододатного ряду. Розглянемо таку теорему.

Теорема . Ряди напевне збігається, якщо збігається ряд

Доведення . Для кожного можна знайти таке , при якому для і при буде:

Але тоді й поготів

Але це й доводить теорему.

Означення. Збіжний ряд називається абсолютно збіжним. Якщо збігається також і ряд

Розглянемо, наприклад, ряд

(1)

Він ні знакододатний, ні знакозмінний. Ряд

(2)

є знакододатний. Порівнюючи його з рядом

(3)

маємо

Ряд (3) збіжний, як ряд Діріхле-Рімана при , отже, збіжним є ряд (2). Тоді за доведеною теоремою і за означенням ряд (1) є абсолютно збіжним.

Оскільки ряд, члени якого – абсолютні значення членів будь-якого ряду є знако-додатний, то, очевидно, щоб дослідити, чи будь-який ряд є абсолютно збіжним, ми можемо використовувати ознаки збіжності, виведені для знакододатних рядів, замінивши у відповідних виразах члени даного ряду їх абсолютними значеннями. Так, ознака Даламбера збіжності ряду запишеться тоді у вигляді ознака Коші – у вигляді: і т.п.

Означення . Якщо ряд (*) збіжний, а ряд розбіжний, то даний ряд (*) називається умовно збіжним.

Отже, ряд

умовно збіжний,

Так само ряд

умовно збіжний, бо ряд

є ряд Діріхле-Рімана, в якому

Знакочергуючі ряди. Ознака Лейбніца.

План.

1. Означення знакочергуючого ряду.

2. Ознака Лейбніца.

3. Оцінка залишку знакочергуючого ряду, збіжного за ознакою Лейбніца.

Л-ра: Методичні вказівки до вивчення теми “Ряди”. Укладачі: В.О.Борисенко, В.В.Левчук, В.С.Мартиненко, В.Д.Подільчук. КДТЕУ. К, 1992 р. ст. 16-19.

Означення . Знакозмінними рядами називаються ряди виду:

де - додатні числа.

Теорема Лейбніца . Якщо в знакозмінному ряді абсолютне значення загального члена монотонно прямує до нуля (тобто до того ж ), тоді знакозмінний ряд збігається, причому сума його має числове значення, проміжне між нулем та першим членом

Доведення . Розглянемо спочатку частинну суму парного порядку , причому запишемо її в двох різних виглядах:

1 .

Помічаємо, що чим більше К, тим більше пар, але кожна пара додатна, отже, монотонно зростає при збільшенні К.

2 З другого боку

Бачимо, що < , для всіх значень k > 1. Отже, обмежена зверху.

Зіставляючи обидва факти, приходимо до висновку, що величина монотонна і разом з тим обмежена змінна, том вона, прямує до певної скінченої границі , при чому ця границя, очевидно, більша за а 1а 2 і не перевищує а1 :

а 1а 2 < < а 1 .

Отже, напевне 0 < < а 1 .

Розглядаючи вже тепер частинну суму непарного порядку +1 , маємо:

= + а 2к+1 .

Отже,

Остаточно приходимо до висновку, що існує єдина границя:

(0 < S < a 1 ),

коли індекс n – будь-яке натуральне число як парне, так і непарне, що доводить теорему.

Наслідок . За умовою теореми Лейбніца остаточна S – Sn = rn менша за абсолютним значенням, ніж абсолютне значення першого з відкинутих членів:

, і має знак цього члена.

Доведення . Маємо:

,

Ряд в останніх дужках сам по собі є знакозмінний і задовольняє теорему Лейбніца, тому

,

причому

Отже, якщо перший з відкинутих членів непарний, то представляє S з недостачею. Похибка має знак плюс. Якщо ж перший відкинутий член – парний, то , представляє S з надлишком. Похибка має знак мінус. В обох випадках, як бачимо, похибка має знак першого відкинутого члена і менша за абсолютним значенням, ніж абсолютне значення першого з відкинутих членів.

Диференціювання та інтегрування

степеневих рядів.

План.

1. Знаходження сум степеневих рядів використовуючи почленне диференціювання та інтегрування.

Л-ра: Методичні вказівки до вивчення теми “Ряди.” Укладачі: В.О.Борисенко, В.В.Левчук, В.С.Мартиненко, В.Д. Подільчук. КДТЕУ.К., 1992 р. ст. 22-23.

Диференціювання степеневих рядів.

Теорема . Якщо степеневий ряд

(1)

має інтеграл збіжності (-р, р), то ряд

, (2)

утворений по членним диференціюванням ряду (1), має той самий інтервал збіжності (-р, р) і його сумою в цьому інтервалі є функція .

Доведення . Покажемо раніш, що коли ряд (1) збігається при певному значенні , то на кожному сегменті , де , ряд (2) збігається абсолютно й рівномірно.

Для цього, досить виявити збіжність ряду

(3)

що відіграватиме роль мажоруючого ряду.

Позначаючи , де , і беручи до уваги, що , маємо

,

де . Застосуємо до ряду

(4)

ознаку Даламбера:

.

Отже, ряд (4) збіжний, а тому збіжним є ряд (3). Звідси, випливає, що ряд (2) збігається абсолютно при кожному значені х інтервалу (-р, р), тобто інтервалу збіжності ряду (1). Якщо позначити, радіус збіжності ряду (2) через р’, то ми довели, що рр’.

Доведемо тепер, що р’ не може бути ц більшим за р.

Справді, в усякій точці х, в якій абсолютно збігається ряд (2), збігається також і ряд

,

а оскільки , то даний степеневий ряд (1) збігається абсолютно в точці х. Отже,

З нерівностей і випливає що . Беручи до уваги теорему про диференціювання функціональних рядів, приходимо до висновку, що сума ряду (1) в усіх точках в середині спільного інтервалу збіжності рядів (1) і (2), тобто .

Теорему доведено.

Оскільки ми можемо застосувати доведену теорему і до про диференційованого ряду, а далі знову її застосувати і т.д., то можна зробити висновок про те, що сума степеневого ряду f(x) в інтервалі збіжності має похідні будь-якого порядку. Похідна f( k) (x) дорівнює сумі ряду, утвореного k-кратним поленим диференціюванням даного степеневого ряду.

Інтегрування степеневих рядів.

Теорема. Степеневий ряд

(5)

з радіусом збіжності р можна почленно інтегрувати на будь-якому сегменті [-k, k], що міститься в інтервалі збіжності (-р, р) ряду (5), зокрема в інтервалі (-р, р):

(6)

і радіус збіжності ряду (6) дорівнює р.

Доведення . На будь-якому сегменті [-k, k], що міститься в інтервалі (-р, р), ряд (5) збігається рівномірно, звідси й випливає можливість його почленного інтегрування. Доведено далі, що радіус збіжності ряду (6) дорівнює р. Згідно з загальною теоремою про інтегрування рядів функцій ряд (6) збігається рівномірно й абсолютно для всякого /х/ < р. Отже, радіус збіжності утвореного ряду не менший р. але він не може бути й більшим за р. це видно з того, що почленно про диференціювавши його, ми приходимо до даного степеневого ряду, а за теоремою про диференціювання степеневих рядів радіуси їх збіжності повинні бути однакові. Теорему доведено.




Комментарий:

Знакозмінні та знакопостійні ряди. Абсолютна та умовна збіжність. План. 1. Означення закономірного ряду. 2. Теорема Коші. 3. Абсолютна та умовна збіжність.


Рекомендовать другу
50/50         Партнёрка
Отзывы