МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО ТРАНСПОРТА

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ

Кафедра «Мехатроника в автоматизированных производствах»

КУРСОВАЯ РАБОТА

по  дисциплине «Основы теории управления»

на тему:

«Анализ и синтез системы автоматического управления»

Вариант 1Б

                                                          Выполнила:

                                                                  студентка гр.1691

                                                              Иванова К.Н.

                                                         Проверил:

Самара 2012

Содержание

1. Введение………………………………………………………………………...3
2. Исходные данные………………………………………………………………4
3. Исследование частотных характеристик САУ и её устойчивости.
   • Составление передаточной функции замкнутой и

разомкнутой САУ………………………………………………….........5

• Составление дифференциального уравнения разомкнутой САУ………6
• Построение АХЧ, ФЧХ, АФЧХ, ЛАЧХ, ЛФЧХ системы

в замкнутом состоянии……………………………….............................6

• Построение вещественной и мнимой частотных характеристик замкнутой системы…………………………………………………...11
• Исследование устойчивости системы в разомкнутом состоянии по критерию Михайлова…………………………………………………...13
• Определение запасов устойчивости замкнутой системы по ЛЧХ…..14

4. Исследование качества переходных процессов САУ.
   • Определение прямых показателей качества………………………….16
   • Определение коэффициентов ошибок………………………………...19
   • Определение интегральной оценки качества…………………………20
5. Моделирование САУ.
   5. Моделирование САУ в пакете MathLab Simulink…………………..22
   6. Нахождение частотных характеристик и устойчивости САУ……...22
   7. Построение графиков переходной и импульсной функций………..24
   8. Определение прямых показателей качества переходного процесса…………………………………………………..25
6. Заключение. …………………………………………………………………26
7. Список литературы…………………………………………………………..27

1. Введение.

Целью выполнения курсовой работы по курсу ''Основы теории управления'' является закрепление  студентами теоретических знаний и приобретение навыков самостоятельного решения расчетно-исследовательских задач по основным  разделам учебной дисциплины. Задания по курсовым работам охватывают следующие основные вопросы:

- составление дифференциальных  уравнений;

- исследование динамических свойств и характеристик САУ;

- построение переходных процессов;

- определение качества переходных процессов;

- построение моделей САУ и их исследование в пакете MatLab.

2. Исходные данные

 Рис.1 Структурная схема САУ

Передаточные функции звеньев

Таблица 1.

Цифровые данные для передаточных функций

Таблица 2.

3. Исследование частотных характеристик САУ и её устойчивости.

3. 1. Составление передаточной функции замкнутой и разомкнутой САУ.

Разомкнутая передаточная функция:

Введем обозначения:

Подставим эти обозначения в  преобразованную передаточную функцию и получим:

Замкнутая передаточная функция:

3. 2.Составление дифференциального уравнения разомкнутой САУ.

Для записи дифференциального уравнения по заданной передаточной функции, перепишем её в соответствии с определением

Полученное выражение преобразуем к следующему виду

 и раскроем скобки:

В полученном уравнении произведем замену оператора , что соответствует обратному преобразованию Лапласа, и получим результирующее дифференциальное уравнение

3. 3.Построение АХЧ, ФЧХ, АФЧХ, ЛАЧХ, ЛФЧХ системы в замкнутом состоянии.

Найдем АФЧХ путем замены p=jw в нашей передаточной функции замкнутой системы:

Делаем замену p=jw:

Отсюда:        

Построим график АФЧХ САУ в замкнутом состоянии:

>> w=[-10:0.01:10];

>> u=(-1800*w.^4+817.2*w.^2+36)./(36-291.6*w.^2+590.49*w.^4+1030.41*w.^2-3852*w.^4+3600*w.^6);

>> v=(-369*w.^3-12.6*w)./(36-291.6*w.^2+590.49*w.^4+1030.41*w.^2-3852*w.^4+3600*w.^6);

>> plot(u,v);

>> grid on;

>> title('Grafik AFChH');

>> xlabel('U(w)');

>> ylabel('V(w)');

Рис.2 График АФЧХ САУ в замкнутом состоянии.

Найдем АЧХ и ФЧХ САУ в замкнутом состоянии:

Построим график АЧХ САУ в замкнутом состоянии:

>> w=[0:0.01:10];

>> a=(((-1800*w.^4+817.2*w.^2+36).^2+(-369*w.^3-12.6*w).^2).^(1/2))./(36-291.6*w.^2+590.49*w.^4+1030.41*w.^2-3852*w.^4+3600*w.^6);

>> plot(w,a)

>> grid on

>> title('Grafik AChH');

>> xlabel('w');

>> ylabel('A(w)');

Рис.3 График АЧХ САУ в замкнутом состоянии.

Построим график ФЧХ САУ в замкнутом состоянии:

>> w=[0:0.02:2]

>> f=(180/pi)*atan((-369*w.^3-12.6*w)./(-1800*w.^4+817.2*w.^2+36))

>> plot(w,f)

>> grid on

>>  title('Grafik FChH');

>> xlabel('w');

>>  ylabel('f(w)');

Рис.4 График ФЧХ САУ в замкнутом состоянии.

Зная АЧХ  и  ФЧХ САУ в замкнутом состоянии найдем ЛАЧХ САУ в замкнутом состоянии:

Построим график ЛАЧХ  САУ  в замкнутом состоянии:

>> L=20*log10((((-1800*w.^4+817.2*w.^2+36).^2+(-369*w.^3-12.6*w).^2).^(1/2))./(36-291.6*w.^2+590.49*w.^4+1030.41*w.^2-3852*w.^4+3600*w.^6))

>> semilogx(w,L)

>> grid on

>> title('Grafik LAChH');

>> xlabel('w');

>> ylabel('L(w)');

Рис.5 График ЛАЧХ САУ в замкнутом состоянии.

Построим график ЛФЧХ  САУ  в замкнутом состоянии:

>> w=[0:0.01:10]

>> f=atan((-369*w.^3-12.6*w)./(-1800*w.^4+817.2*w.^2+36)

>> semilogx(w,f)                                                                                                 

>>  grid on

>> xlabel('w');

>> title('Grafik LFChH');

>> ylabel('f(w)');

                           Рис.6 График ЛФЧХ САУ в замкнутом состоянии.

3. 4.Построение вещественной и мнимой частотных характеристик замкнутой системы.

Передаточная функция замкнутой системы:

Делаем замену p=jw:

Отсюда:

Построим графики вещественной и мнимой характеристик САУ в замкнутом состоянии.

Вещественная частотная характеристика:

>> w=[0:0.01:3]

>> u=(-1800*w.^4+817.2*w.^2+36)./(36-291.6*w.^2+590.49*w.^4+1030.41*w.^2-3852*w.^4+3600*w.^6)

>> plot(w,u)

>> grid on

>> xlabel('w');

>> ylabel('U(w)');

>> title('Grafik VChH zamknytoj SAU');

Рис.7  График вещественной характеристики  САУ в замкнутом состоянии

Мнимая частотная характеристика:

>> w=[0:0.01:0.5];

>> v=(-369*w.^3-12.6*w)./(36-291.6*w.^2+590.49*w.^4+1030.41*w.^2-3852*w.^4+3600*w.^6)

>> plot(w,v)

>> xlabel('w');

>> ylabel('U(w)');

>> title('Grafik MChH zamknytoj SAU');

>> grid on

Рис.8 График мнимой характеристики  САУ в зaмкнутом состоянии

3. 5.Исследование устойчивости системы в разомкнутом состоянии по критерию Михайлова.

Используя критерий Михайлова, оценим устойчивость системы.

Характеристическое уравнение разомкнутой системы имеет вид:

Сделаем замену p=jw  и выделим вещественную и мнимую части:

Построим годограф Михайлова:

>> w=[0:0.01:5]

>> u=-24.3*w.^2

          >> v=-60*w.^3+2.1*w

>> plot(u,v)

>> grid on

 >> xlabel('U(w)')

  >> ylabel('V(w)')

                                              Рис.9 Годограф Михайлова.

Из графика видно, что система находится на границе устойчивости, но можно считать, что система устойчива.

3. Определение запасов устойчивости замкнутой системы по ЛЧХ

Для определения запасов устойчивости замкнутой системы построим диаграмму Боде:

>> W=tf([30 6],[60 24.3 32.1 6])    замкнутая передаточная функция;

Transfer function:

           30 s + 6

------------------------------

60 s^3 + 24.3 s^2 + 32.1 s + 6

>> bode (W)

Рис.10 Диаграмма Боде (ЛЧХ).

Запас устойчивости  по амплитуде (Gain margin) : стремится к

Запас устойчивости  по фазе (Phase margin):

Вывод по первой части курсовой работы: в этой части курсовой работы по заданной структурной САУ и исходным данным определили передаточные функции замкнутой и разомкнутой САУ. Составили дифференциальное уравнение разомкнутой САУ. Построили АЧХ, ФЧХ, АФЧХ, ЛАЧХ, ЛФЧХ системы в замкнутом состоянии. Построили вещественную и мнимую характеристику САУ в замкнутом состоянии. Исследовав устойчивость системы в разомкнутом состоянии по критерию Михайлова определили, что система устойчива. Определили запас устойчивости САУ по ЛЧХ.

4. Исследование качества переходных процессов САУ.
5. 1. Определение прямых показателей качества.

Передаточная функция САУ в замкнутом состоянии:

Корни характеристического уравнения:

      Изображение переходной функции можно представить в виде:

H(p)=,    

 где  ,

         .

С учетом b и c получим следующую переходную функцию:

Приведем полученное выражение к общему знаменателю и приравняем числитель этого выражения к числителю исходного изображения переходной функции.

Приравняв члены при одинаковых степенях оператора p в правой и левой частях, получим систему линейных уравнений относительно неопределенных коэффициентов.

Найдем решение данной системы:

Два первых слагаемых изображения переходной функции являются табличными. Необходимо преобразовать к табличному виду третье слагаемое.

Полученные слагаемые являются табличными.  Подставив численные значения параметров и использовав таблицы преобразования Лапласа, получим выражение для переходной функции:

 Построим график функции переходной характеристики замкнутой системы:

>> t=[0:0.01:60]

>> h=61.2-61.2*exp(-0.101*t).*cos(0.695*t)-0.14*exp(-0.101*t).*sin(0.695*t)

>> plot(t,h)

Рис.11  Переходная функция системы регулирования

Построим график функции импульсной  характеристики замкнутой системы:

>> t=[0:0.01:60]

>> h=61.2-61.2*exp(-0.101*t).*cos(0.695*t)-0.14*exp(-0.101*t).*sin(0.695*t)

>> impulse(t,h)

Рис.11  Импульсная функция системы регулирования

Количественные оценки качества, так называемые прямые показатели качества, определяются по кривой переходного процесса:

N =1;

x_max = 1.65;

x_уст = 1;

t_p = 37.1 – время переходного процесса

t_y = 1.65 – время регулирования

Величина перерегулирования s :

Статическая ошибка e_сm – величина отклонения установившегося значения регулируемой величины x(¥) от требуемого значения N

или , где E(p) – изображение ошибки;

4. 2.Определение коэффициентов ошибок.

Точность САУ в установившемся режиме, при относительно медленно изменяющихся воздействиях, может быть оценена с помощью коэффициентов ошибок. Изображение ошибки определяется выражением:

,

 где - передаточная функция по ошибке.

           Пусть передаточная функция САУ в разомкнутом состоянии без корректирующего звена имеет вид:

 ,

тогда

Коэффициенты ошибок:

K₀ - коэффициент ошибки по положению;

K₁- коэффициент ошибки по скорости;

K₂ – коэффициент ошибки по ускорению.

Найдём коэффициенты ошибок:

Коэффициент ошибки по положению = 0

Коэффициент ошибки по скорости = 0.07

Коэффициент ошибки по ускорению = 0.28

4. 3.Определение интегральной оценки качества.

Интегральные оценки характеризуют качество протекания переходных процессов. Наибольшее распространение получили две интегральные оценки

Значение интегральной оценки качества стремится к полученному  значению .

Интеграл J₀ определяет площадь под кривой квадрата динамической ошибки. Чем меньше этот интеграл, тем быстрее затухает переходный процесс и, следовательно, интеграл J₀ служит мерой быстродействия системы. В ряде случаев система, удовлетворяющая условию минимума J₀, имеет значительную колебательность переходного процесса.

Недостатками интегральных оценок являются невозможность получения прямых показателей качества и высокая сложность вычислительных процедур. Достоинство – это возможность выразить интегральные оценки как функции параметров системы и, воспользовавшись известными методами поиска экстремума, определить значения этих параметров, дающие минимум избранной оценке. Именно это и послужило развитию аналитических методов синтеза систем автоматического управления, основанных на минимизации квадратичных интегральных оценок.

Вывод по второй части курсового проекта

В этой части курсовой работы построили переходную характеристику системы для замкнутого состояния, и для этого  записали передаточную функцию, использовав таблицы преобразования Лапласа. Построили переходную характеристику системы для замкнутого состояния. Определили параметры качества, такие как: величину перерегулирования, характеризующая максимальное отклонение регулируемой величины от ее установившегося значения ; статическую ошибку e_сm  - величина  отклонения установившегося значения регулируемой величины x(¥) от требуемого значения N); время регулирования t_р  - промежуток  времени, по истечении которого регулируемая величина первый раз достигает установившегося значения; коэффициент ошибки по положению ; коэффициент ошибки по скорости ; коэффициент ошибки по ускорению; интегральные оценки качества.

5. Моделирование САУ.
6. 1.Моделирование САУ в пакете MathLab Simulink.

Смоделируем заданную САУ в пакете MathLab Simulink:

Рис.13  График функции переходной характеристики САУ

5. 2.Нахождение частотных характеристик и устойчивости САУ.

Найдем частотные характеристики с использование MathLab, если задана передаточная функция САУ:

Используем ППП Control System Toolbox системы MathLab.

>> W=tf([30 6],[60 24.3 32.1 6])

Transfer function:

           30 s + 6

------------------------------

60 s^3 + 24.3 s^2 + 32.1 s + 6

Найдем полюса и нули передаточной функции с использованием команд pole, zero:

>> pole(W)

ans =

  -0.1013 + 0.6955i

  -0.1013 - 0.6955i

  -0.2024         

>> zero(W)

ans =

   -0.2000

Построим диаграмму Боде, используя команду  bode(w):

>> bode(W)

Рис.14 Логарифмические частотные характеристики.

5. 3.Построение графиков переходной и импульсной функций.

Построим переходную функцию командой step(w):

>> step(w)

>> grid on

Рис.15 График переходной функции.

Построим импульсную переходную функцию командой impulse(w):

>> impulse(W)

>> grid on

Рис.16 График импульсной переходной функции.

5. 4.Определение прямых показателей качества переходного процесса.

Определим частотный годограф Найквиста, выполнив команду nyquist(w):

>> nyquist(W)

>> grid on

Рис.17 Частотный годограф.

Вывод по третьей части курсовой работы:

С помощью пакета MathLab смоделировали заданную САУ. Нашли частотные характеристики.

Нашли корни:   

  -0.1013 + 0.6955i

  -0.1013 - 0.6955i

  -0.2024         

Все корни отрицательные, это свидетельствует об устойчивости системы.  

Построили графики переходной функции и импульсной переходной функции, диаграмму Боде и годограф Найквиста. Определили прямые показатели качества переходного процесса.

6. Заключение.

          Воздействие, приложенное к системе автоматического управления, вызывает изменение регулируемой величины. Изменение регулируемой величины во времени определяет переходный процесс, характер которого зависит от воздействия и от свойств системы. Чтобы качественно выполнить задачу регулирования в различных изменяющихся условиях работы система должна обладать определенным запасом устойчивости.

          В устойчивых системах автоматического управления переходный процесс с течением времени затухает и наступает установившееся состояние. Как в переходном режиме, так в и установившемся состоянии выходная регулируемая величина отличается от желаемого закона изменения на некоторую величину, которая является ошибкой и характеризует точность выполнения поставленных задач.  Ошибки в установившемся состоянии  определяют статическую точность системы и имеют большое практическое значение.

          Большой  практический интерес представляет поведение системы в переходном процессе. Показателями переходного процесса являются время переходного процесса, перерегулирование и число колебаний регулируемой величины около линии установившегося значения за время переходного процесса.

          Показатели переходного процесса характеризуют качество системы автоматического управления и являются одним из важнейших требований, предъявляемых к динамическим свойствам системы.

          Таким образом, для обеспечения необходимых динамических свойств к системам автоматического управления должны быть предъявлены требования по запасу устойчивости, статической точности и качеству переходного процесса.

7. Список литературы.

1. Свешников А.Г., Тихонов А.Н. Теория функций комплексной переменной. М.: Наука, 1970. 304с.
2. Бесекерский В.А., Попов Е.П. Теория систем автоматического регулирования. М.: Наука, 1975. 768с.
3. Джон М. Смит.Математическое и цифровое моделирование для инженеров и исследователей. М.: Машиностроение, 1980.272с.
4. Кузин Л.Т. Расчет и проектирование дискретных систем управления. М.: Гос.науч. – техн. изд – во машиностроительной лит – ры, 1962. 672с.
5. Ким Д.П. Теория автоматического управления. Линейные системы. Том I
6. Ким Д.П. Теория автоматического управления. Линейные системы. Том II