МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО ТРАНСПОРТА
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ
Кафедра «Мехатроника в автоматизированных производствах»
КУРСОВАЯ РАБОТА
по дисциплине «Основы теории управления»
на тему:
«Анализ и синтез системы автоматического управления»
Вариант 1Б
Выполнила:
студентка гр.1691
Иванова К.Н.
Проверил:
Самара 2012
Содержание
- Введение………………………………………………………………………...3
- Исходные данные………………………………………………………………4
- Исследование частотных характеристик САУ и её устойчивости.
- Составление передаточной функции замкнутой и
разомкнутой САУ………………………………………………….........5
- Составление дифференциального уравнения разомкнутой САУ………6
- Построение АХЧ, ФЧХ, АФЧХ, ЛАЧХ, ЛФЧХ системы
в замкнутом состоянии……………………………….............................6
- Построение вещественной и мнимой частотных характеристик замкнутой системы…………………………………………………...11
- Исследование устойчивости системы в разомкнутом состоянии по критерию Михайлова…………………………………………………...13
- Определение запасов устойчивости замкнутой системы по ЛЧХ…..14
- Исследование качества переходных процессов САУ.
- Определение прямых показателей качества………………………….16
- Определение коэффициентов ошибок………………………………...19
- Определение интегральной оценки качества…………………………20
- Моделирование САУ.
- Моделирование САУ в пакете MathLab Simulink…………………..22
- Нахождение частотных характеристик и устойчивости САУ……...22
- Построение графиков переходной и импульсной функций………..24
- Определение прямых показателей качества переходного процесса…………………………………………………..25
- Заключение. …………………………………………………………………26
- Список литературы…………………………………………………………..27
- Введение.
Целью выполнения курсовой работы по курсу ''Основы теории управления'' является закрепление студентами теоретических знаний и приобретение навыков самостоятельного решения расчетно-исследовательских задач по основным разделам учебной дисциплины. Задания по курсовым работам охватывают следующие основные вопросы:
- составление дифференциальных уравнений;
- исследование динамических свойств и характеристик САУ;
- построение переходных процессов;
- определение качества переходных процессов;
- построение моделей САУ и их исследование в пакете MatLab.
- Исходные данные
Рис.1 Структурная схема САУ
Передаточные функции звеньев
Таблица 1.
W1(p) |
W2(p) |
W3(p) |
W4(p) |
|
Цифровые данные для передаточных функций
Таблица 2.
К1 |
Т1,С |
К2 |
Т2, С |
К3 |
Т3,С |
К4 |
Т4,С |
,c |
1,5 |
8,0 |
4,0 |
1,2 |
1,0 |
1,5 |
0,1 |
5,0 |
1,0 |
- Исследование частотных характеристик САУ и её устойчивости.
- 1. Составление передаточной функции замкнутой и разомкнутой САУ.
Разомкнутая передаточная функция:
Введем обозначения:
Подставим эти обозначения в преобразованную передаточную функцию и получим:
Замкнутая передаточная функция:
- 2.Составление дифференциального уравнения разомкнутой САУ.
Для записи дифференциального уравнения по заданной передаточной функции, перепишем её в соответствии с определением
Полученное выражение преобразуем к следующему виду
и раскроем скобки:
В полученном уравнении произведем замену оператора , что соответствует обратному преобразованию Лапласа, и получим результирующее дифференциальное уравнение
- 3.Построение АХЧ, ФЧХ, АФЧХ, ЛАЧХ, ЛФЧХ системы в замкнутом состоянии.
Найдем АФЧХ путем замены p=jw в нашей передаточной функции замкнутой системы:
Делаем замену p=jw:
Отсюда:
Построим график АФЧХ САУ в замкнутом состоянии:
>> w=[-10:0.01:10];
>> u=(-1800*w.^4+817.2*w.^2+36)./(36-291.6*w.^2+590.49*w.^4+1030.41*w.^2-3852*w.^4+3600*w.^6);
>> v=(-369*w.^3-12.6*w)./(36-291.6*w.^2+590.49*w.^4+1030.41*w.^2-3852*w.^4+3600*w.^6);
>> plot(u,v);
>> grid on;
>> title('Grafik AFChH');
>> xlabel('U(w)');
>> ylabel('V(w)');
Рис.2 График АФЧХ САУ в замкнутом состоянии.
Найдем АЧХ и ФЧХ САУ в замкнутом состоянии:
Построим график АЧХ САУ в замкнутом состоянии:
>> w=[0:0.01:10];
>> a=(((-1800*w.^4+817.2*w.^2+36).^2+(-369*w.^3-12.6*w).^2).^(1/2))./(36-291.6*w.^2+590.49*w.^4+1030.41*w.^2-3852*w.^4+3600*w.^6);
>> plot(w,a)
>> grid on
>> title('Grafik AChH');
>> xlabel('w');
>> ylabel('A(w)');
Рис.3 График АЧХ САУ в замкнутом состоянии.
Построим график ФЧХ САУ в замкнутом состоянии:
>> w=[0:0.02:2]
>> f=(180/pi)*atan((-369*w.^3-12.6*w)./(-1800*w.^4+817.2*w.^2+36))
>> plot(w,f)
>> grid on
>> title('Grafik FChH');
>> xlabel('w');
>> ylabel('f(w)');
Рис.4 График ФЧХ САУ в замкнутом состоянии.
Зная АЧХ и ФЧХ САУ в замкнутом состоянии найдем ЛАЧХ САУ в замкнутом состоянии:
Построим график ЛАЧХ САУ в замкнутом состоянии:
>> L=20*log10((((-1800*w.^4+817.2*w.^2+36).^2+(-369*w.^3-12.6*w).^2).^(1/2))./(36-291.6*w.^2+590.49*w.^4+1030.41*w.^2-3852*w.^4+3600*w.^6))
>> semilogx(w,L)
>> grid on
>> title('Grafik LAChH');
>> xlabel('w');
>> ylabel('L(w)');
Рис.5 График ЛАЧХ САУ в замкнутом состоянии.
Построим график ЛФЧХ САУ в замкнутом состоянии:
>> w=[0:0.01:10]
>> f=atan((-369*w.^3-12.6*w)./(-1800*w.^4+817.2*w.^2+36)
>> semilogx(w,f)
>> grid on
>> xlabel('w');
>> title('Grafik LFChH');
>> ylabel('f(w)');
Рис.6 График ЛФЧХ САУ в замкнутом состоянии.
- 4.Построение вещественной и мнимой частотных характеристик замкнутой системы.
Передаточная функция замкнутой системы:
Делаем замену p=jw:
Отсюда:
Построим графики вещественной и мнимой характеристик САУ в замкнутом состоянии.
Вещественная частотная характеристика:
>> w=[0:0.01:3]
>> u=(-1800*w.^4+817.2*w.^2+36)./(36-291.6*w.^2+590.49*w.^4+1030.41*w.^2-3852*w.^4+3600*w.^6)
>> plot(w,u)
>> grid on
>> xlabel('w');
>> ylabel('U(w)');
>> title('Grafik VChH zamknytoj SAU');
Рис.7 График вещественной характеристики САУ в замкнутом состоянии
Мнимая частотная характеристика:
>> w=[0:0.01:0.5];
>> v=(-369*w.^3-12.6*w)./(36-291.6*w.^2+590.49*w.^4+1030.41*w.^2-3852*w.^4+3600*w.^6)
>> plot(w,v)
>> xlabel('w');
>> ylabel('U(w)');
>> title('Grafik MChH zamknytoj SAU');
>> grid on
Рис.8 График мнимой характеристики САУ в зaмкнутом состоянии
- 5.Исследование устойчивости системы в разомкнутом состоянии по критерию Михайлова.
Используя критерий Михайлова, оценим устойчивость системы.
Характеристическое уравнение разомкнутой системы имеет вид:
Сделаем замену p=jw и выделим вещественную и мнимую части:
Построим годограф Михайлова:
>> w=[0:0.01:5]
>> u=-24.3*w.^2
>> v=-60*w.^3+2.1*w
>> plot(u,v)
>> grid on
>> xlabel('U(w)')
>> ylabel('V(w)')
Рис.9 Годограф Михайлова.
Из графика видно, что система находится на границе устойчивости, но можно считать, что система устойчива.
- Определение запасов устойчивости замкнутой системы по ЛЧХ
Для определения запасов устойчивости замкнутой системы построим диаграмму Боде:
>> W=tf([30 6],[60 24.3 32.1 6]) замкнутая передаточная функция;
Transfer function:
30 s + 6
------------------------------
60 s^3 + 24.3 s^2 + 32.1 s + 6
>> bode (W)
Рис.10 Диаграмма Боде (ЛЧХ).
Запас устойчивости по амплитуде (Gain margin) : стремится к
Запас устойчивости по фазе (Phase margin):
Вывод по первой части курсовой работы: в этой части курсовой работы по заданной структурной САУ и исходным данным определили передаточные функции замкнутой и разомкнутой САУ. Составили дифференциальное уравнение разомкнутой САУ. Построили АЧХ, ФЧХ, АФЧХ, ЛАЧХ, ЛФЧХ системы в замкнутом состоянии. Построили вещественную и мнимую характеристику САУ в замкнутом состоянии. Исследовав устойчивость системы в разомкнутом состоянии по критерию Михайлова определили, что система устойчива. Определили запас устойчивости САУ по ЛЧХ.
- Исследование качества переходных процессов САУ.
- 1. Определение прямых показателей качества.
Передаточная функция САУ в замкнутом состоянии:
Корни характеристического уравнения:
Изображение переходной функции можно представить в виде:
H(p)=,
где ,
.
С учетом b и c получим следующую переходную функцию:
Приведем полученное выражение к общему знаменателю и приравняем числитель этого выражения к числителю исходного изображения переходной функции.
Приравняв члены при одинаковых степенях оператора p в правой и левой частях, получим систему линейных уравнений относительно неопределенных коэффициентов.
Найдем решение данной системы:
Два первых слагаемых изображения переходной функции являются табличными. Необходимо преобразовать к табличному виду третье слагаемое.
Полученные слагаемые являются табличными. Подставив численные значения параметров и использовав таблицы преобразования Лапласа, получим выражение для переходной функции:
Построим график функции переходной характеристики замкнутой системы:
>> t=[0:0.01:60]
>> h=61.2-61.2*exp(-0.101*t).*cos(0.695*t)-0.14*exp(-0.101*t).*sin(0.695*t)
>> plot(t,h)
Рис.11 Переходная функция системы регулирования
Построим график функции импульсной характеристики замкнутой системы:
>> t=[0:0.01:60]
>> h=61.2-61.2*exp(-0.101*t).*cos(0.695*t)-0.14*exp(-0.101*t).*sin(0.695*t)
>> impulse(t,h)
Рис.11 Импульсная функция системы регулирования
Количественные оценки качества, так называемые прямые показатели качества, определяются по кривой переходного процесса:
N =1;
xmax = 1.65;
xуст = 1;
tp = 37.1 – время переходного процесса
ty = 1.65 – время регулирования
Величина перерегулирования s :
Статическая ошибка eсm – величина отклонения установившегося значения регулируемой величины x(¥) от требуемого значения N
или , где E(p) – изображение ошибки;
- 2.Определение коэффициентов ошибок.
Точность САУ в установившемся режиме, при относительно медленно изменяющихся воздействиях, может быть оценена с помощью коэффициентов ошибок. Изображение ошибки определяется выражением:
,
где - передаточная функция по ошибке.
Пусть передаточная функция САУ в разомкнутом состоянии без корректирующего звена имеет вид:
,
тогда
Коэффициенты ошибок:
K0 - коэффициент ошибки по положению;
K1- коэффициент ошибки по скорости;
K2 – коэффициент ошибки по ускорению.
Найдём коэффициенты ошибок:
Коэффициент ошибки по положению = 0
Коэффициент ошибки по скорости = 0.07
Коэффициент ошибки по ускорению = 0.28
- 3.Определение интегральной оценки качества.
Интегральные оценки характеризуют качество протекания переходных процессов. Наибольшее распространение получили две интегральные оценки
Значение интегральной оценки качества стремится к полученному значению .
Интеграл J0 определяет площадь под кривой квадрата динамической ошибки. Чем меньше этот интеграл, тем быстрее затухает переходный процесс и, следовательно, интеграл J0 служит мерой быстродействия системы. В ряде случаев система, удовлетворяющая условию минимума J0, имеет значительную колебательность переходного процесса.
Недостатками интегральных оценок являются невозможность получения прямых показателей качества и высокая сложность вычислительных процедур. Достоинство – это возможность выразить интегральные оценки как функции параметров системы и, воспользовавшись известными методами поиска экстремума, определить значения этих параметров, дающие минимум избранной оценке. Именно это и послужило развитию аналитических методов синтеза систем автоматического управления, основанных на минимизации квадратичных интегральных оценок.
Вывод по второй части курсового проекта
В этой части курсовой работы построили переходную характеристику системы для замкнутого состояния, и для этого записали передаточную функцию, использовав таблицы преобразования Лапласа. Построили переходную характеристику системы для замкнутого состояния. Определили параметры качества, такие как: величину перерегулирования, характеризующая максимальное отклонение регулируемой величины от ее установившегося значения ; статическую ошибку eсm - величина отклонения установившегося значения регулируемой величины x(¥) от требуемого значения N); время регулирования tр - промежуток времени, по истечении которого регулируемая величина первый раз достигает установившегося значения; коэффициент ошибки по положению ; коэффициент ошибки по скорости ; коэффициент ошибки по ускорению; интегральные оценки качества.
- Моделирование САУ.
- 1.Моделирование САУ в пакете MathLab Simulink.
Смоделируем заданную САУ в пакете MathLab Simulink:
Рис.13 График функции переходной характеристики САУ
- 2.Нахождение частотных характеристик и устойчивости САУ.
Найдем частотные характеристики с использование MathLab, если задана передаточная функция САУ:
Используем ППП Control System Toolbox системы MathLab.
>> W=tf([30 6],[60 24.3 32.1 6])
Transfer function:
30 s + 6
------------------------------
60 s^3 + 24.3 s^2 + 32.1 s + 6
Найдем полюса и нули передаточной функции с использованием команд pole, zero:
>> pole(W)
ans =
-0.1013 + 0.6955i
-0.1013 - 0.6955i
-0.2024
>> zero(W)
ans =
-0.2000
Построим диаграмму Боде, используя команду bode(w):
>> bode(W)
Рис.14 Логарифмические частотные характеристики.
- 3.Построение графиков переходной и импульсной функций.
Построим переходную функцию командой step(w):
>> step(w)
>> grid on
Рис.15 График переходной функции.
Построим импульсную переходную функцию командой impulse(w):
>> impulse(W)
>> grid on
Рис.16 График импульсной переходной функции.
- 4.Определение прямых показателей качества переходного процесса.
Определим частотный годограф Найквиста, выполнив команду nyquist(w):
>> nyquist(W)
>> grid on
Рис.17 Частотный годограф.
Вывод по третьей части курсовой работы:
С помощью пакета MathLab смоделировали заданную САУ. Нашли частотные характеристики.
Нашли корни:
-0.1013 + 0.6955i
-0.1013 - 0.6955i
-0.2024
Все корни отрицательные, это свидетельствует об устойчивости системы.
Построили графики переходной функции и импульсной переходной функции, диаграмму Боде и годограф Найквиста. Определили прямые показатели качества переходного процесса.
- Заключение.
Воздействие, приложенное к системе автоматического управления, вызывает изменение регулируемой величины. Изменение регулируемой величины во времени определяет переходный процесс, характер которого зависит от воздействия и от свойств системы. Чтобы качественно выполнить задачу регулирования в различных изменяющихся условиях работы система должна обладать определенным запасом устойчивости.
В устойчивых системах автоматического управления переходный процесс с течением времени затухает и наступает установившееся состояние. Как в переходном режиме, так в и установившемся состоянии выходная регулируемая величина отличается от желаемого закона изменения на некоторую величину, которая является ошибкой и характеризует точность выполнения поставленных задач. Ошибки в установившемся состоянии определяют статическую точность системы и имеют большое практическое значение.
Большой практический интерес представляет поведение системы в переходном процессе. Показателями переходного процесса являются время переходного процесса, перерегулирование и число колебаний регулируемой величины около линии установившегося значения за время переходного процесса.
Показатели переходного процесса характеризуют качество системы автоматического управления и являются одним из важнейших требований, предъявляемых к динамическим свойствам системы.
Таким образом, для обеспечения необходимых динамических свойств к системам автоматического управления должны быть предъявлены требования по запасу устойчивости, статической точности и качеству переходного процесса.
- Список литературы.
- Свешников А.Г., Тихонов А.Н. Теория функций комплексной переменной. М.: Наука, 1970. 304с.
- Бесекерский В.А., Попов Е.П. Теория систем автоматического регулирования. М.: Наука, 1975. 768с.
- Джон М. Смит.Математическое и цифровое моделирование для инженеров и исследователей. М.: Машиностроение, 1980.272с.
- Кузин Л.Т. Расчет и проектирование дискретных систем управления. М.: Гос.науч. – техн. изд – во машиностроительной лит – ры, 1962. 672с.
- Ким Д.П. Теория автоматического управления. Линейные системы. Том I
- Ким Д.П. Теория автоматического управления. Линейные системы. Том II